Arătați că $\displaystyle \frac{2+i}{2-i} + \frac{2-i}{2+i} = \frac{6}{5}$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Se consideră $\displaystyle x_1$ și $\displaystyle x_2$ soluțiile ecuației $\displaystyle x^2 - (2m+3)x + m^2 + 3m + 2 = 0$. Arătați că $\displaystyle (x_1 - x_2)^2 = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x-3} = 5-x$.

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N, P$ pe laturile $\displaystyle AB, BC$, respectiv $\displaystyle AC$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{BM} + \vec{BN} = \vec{BP}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \sin 2x = \cos x$ și $\displaystyle x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 3 \\ 1 & 3 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z = 1 \\ x+ay+3z = 2 \\ x+3y+az = 2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a+1)(a-3)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$. \rb) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m)A(2-m) = A(2-m)A(m)$. \rc) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, iar $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = -5xy+10x+10y-18$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -5(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$. \rb) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle (n \ast n) \ast n = n$. \rc) Arătați că, dacă $\displaystyle a \ast a = b$ și $\displaystyle b \ast b = a$, atunci $\displaystyle a = b = 2$ sau $\displaystyle a = b = \frac{9}{5}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{ \sqrt{x^2+2x+2} }$.

a) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$. \rb) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x^2} = \frac{1}{e^2}$. \rc) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a \in (-\sqrt{2}, -1)$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2(\sqrt{2}-1)$. \rb) Demonstrați că $\displaystyle I_n \le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$. \rc) Demonstrați că $\displaystyle (2n+1)I_n = 2\sqrt{2}-2nI_{n-1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.