Se consideră determinantul $\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x+1 & y+1 & z+1 \\ x^2+x & y^2+y & z^2+z \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \Delta(0,2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle \Delta(m,n)$ este divizibil cu $\displaystyle 2$, pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & a-1 \\ 0 & 1 & 0 \\ a-1 & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(0)+A(2)$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Arătați că $\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)\dots A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(n)\right)^{2n^3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^3+3x^2-x+a & , x\le 0 \\ \frac{e^{4x}-1}{x^2+x} & , x>0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^3}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-6,-3)$, atunci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul $\displaystyle (-3,-1)$.