Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2^x & 4^x \\ 1 & x & 2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) = (2^x-1)(2^x-x-x\cdot 2^x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle A(1) + A(2) + A(3) + \dots + A(2017) = \begin{pmatrix} 2017 & 2017 & 2017 \\ 2017 & 2(2^{2017}-1) & \frac{4(4^{2017}-1)}{3} \\ 2017 & 2017 \cdot 1009 & 2017 \cdot 2018 \end{pmatrix}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = 7xy - 7x - 7y + 8$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 7(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a, b, c$ sunt numere naturale astfel încât $\displaystyle a \ast b \ast c = 48$, atunci numerele $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$ sunt egale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -2e \le f(x) \le \frac{6}{e^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx = \ln \frac{3}{2}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m > 0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \sqrt{x}(x+1)f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 1-\ln \frac{m+1}{m}$.