a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = x y I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle \det(A(n)A(n) + A(n) + I_3)$ este pătratul unui număr natural.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle P(2)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=-5$, demonstrați că, pentru $\displaystyle a=-5$, demonstrați că câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2+X-2$ sunt egale.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle P$, știind că $\displaystyle P(i)=0$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - \ln x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1) f(x) dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x(f(x)+f(-x))dx = 0$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria mai mică decât $\displaystyle \ln 2$.