Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x+1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = \det(A(x+1)) = 12$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - (m^2+2)X^2 + (m^2+2)X - 1$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Demonstrați că $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = -4(m-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt numere reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2e^x - x^2 - 2x - 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(e^x-x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \int_{-2}^x (t+2)^n dt$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-2}^0 (x+2)^n dx = \frac{2^{n+1}}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

b) Pentru $\displaystyle n=1$, arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^x dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{242}{n+1}$.