Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2-x & 0 & x-1 \ 0 & 1 & 0 \ 2(1-x) & 0 & 2x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(-x)) \leq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că, dacă numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ verifică relația $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$, atunci $\displaystyle m+n=3$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2+aX+1$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ au modulele egale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:( -2, +\infty ) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\ln(x+2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x+2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră integrală $\displaystyle I_n = \int_{1}^{e} x^n \ln x \, dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} x \ln x \, dx = \frac{e^2+1}{4}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^{n+2}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.