Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=0 \\ x+2y+az=0 \\ -2x-y+3z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(9))=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale nenule, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=1$, dacă și numai dacă $\displaystyle a=7$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+7x+7y+42$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle 2017^a \circ (-6) = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \ln x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2 (\ln x)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x > x-1$, pentru orice $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + 3x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2)dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{7}{4}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-e^x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-n+1$.