Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)+B(x)) = \det(B(x))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ și $\displaystyle p$, știind că $\displaystyle A(n)B(p)=B(3)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3+aX^2+8X+3$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=6$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la polinomul $\displaystyle X^2+5X+3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in (-4,4)$, atunci polinomul $\displaystyle P(X)$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^{2018}+2018x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2018(x^{2017}+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a,2020)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care trece prin punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții reale distincte.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+2x+2} dx$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2+2x+2) dx$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{5}$.