Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)(A-I_3) = O_3$, unde $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 0 * 1 * 2 * 3$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle a * a * 2016 = 2016$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2017}{2016} \le f(x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2016]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^{3}-3x^{2}+2$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}\left(f(x)+3x^{2}-2\right)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-x^{3}+3x^{2}+x\right)e^{x}\,dx = 2e-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{1-a}^{1+a} f(x)\,dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.