Se consideră determinantul $\displaystyle d(x)=\begin{vmatrix} 2 & 0 & x+1 \ 3 & 3 & x^2+2 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle d(0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle d(x)=-2(x-1)(x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt două numere reale diferite astfel încât $\displaystyle d(x)=d(y)$, atunci $\displaystyle x+y=0$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle A+I_2$.

b) Arătați că inversa matricei $\displaystyle M=A+I_2+A \cdot I_2$ este matricea $\displaystyle -A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care avem $\displaystyle (A+I_2)(B+I_2)=2I_2$, unde $\displaystyle B=\begin{pmatrix} x & 0 \ x^2 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1}f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x+1, x \in (-\infty,0) \\ |1-x^3|, x \in [0,+\infty) \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)+f(1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x) \geq 0$.