Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B)=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+2x+2y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-2)=-2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ \frac{1}{x} = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^3}=1$.

c) Determinați abcisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y=4x+1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-2x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^{x}(f(x)-x^3-x^2)+1)dx = 3e^2+1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.