Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 2A = I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = I_2$, unde $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ x-1 & -1 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3+5X^2-4$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1)=2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x^2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{f(x)} = 0$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-x^2+x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)+x^2-x+1)dx = \frac{15}{4}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$.