a) Arătați că $\displaystyle det A = 1$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, pentru care $\displaystyle A^2 = \begin{pmatrix} a-2 & b \ c+1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A^2=I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 = (-3) \cdot (-3) - 3 = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle x y = x+3y+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că valorile reale ale lui $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \leq 5x \leq x+5$.

a) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7$. Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2 - 6x(x-1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x-2} = 12$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: x \in [0, +\infty) \rightarrow f(x) \geq 6$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x) - 3x) dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^2} e^{x} dx = \frac{1-e^{-1}}{1}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$.