a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot B=B\cdot A$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A\cdot A-3(A+B)=I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(-3)=-3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x*x^{-1}=3$, unde $\displaystyle x^{-1}$ este elementul simetric al lui $\displaystyle x$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+3x}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\geq -2$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x-1)dx=\frac{1}{5}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-x^3-1)\ln x dx = \frac{e^2+1}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.