Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ x & 2x-1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(M(0))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle 2M(x) - M(-x) = M(3x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(n, 2n-1)$ și $\displaystyle B(n^2, 2n^2-1)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n \geq 2$. Demonstrați că aria triunghiului $\displaystyle OAB$ este număr natural.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 6xy - 2x - 2y + 1$.

a) Calculați $\displaystyle 1 \circ \frac{1}{3}$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{1008} \circ \frac{2}{1008} \circ \frac{3}{1008} \circ \dots \circ \frac{2016}{1008}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^4+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)(x^2+1)}{(x^4+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{4} \leq f(x) \leq \frac{1}{4}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = xe^{x^2} - 2$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x)dx$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{x} f(t)dt = 0$.