Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1+3x & 2x \ -6x & 1-4x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x+y)=A(x)A(y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați matricea $\displaystyle A(2^x-1)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, ștind că $\displaystyle A(2^x)=A(1)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1)=-1-a+2$.

b) Restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2-2X+2$ este $\displaystyle aX+2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle X^2+X_1^2+X_2^2+X_3^2=-1$, unde $\displaystyle X_1, X_2, X_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+2)(x-3)-(x^2+2x-11)}{(x-3)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\pi)>13$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(3x+m)e^x$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \int e^x dx = e^x+c$, $\displaystyle c \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(3x+m)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx = 3a$.