Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+x & -x \\ 2x & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați det($\displaystyle A(0)$).

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x $\displaystyle \circ$ y = 2xy - 6x - 6y + 21.

a) Arătați că x $\displaystyle \circ$ y = 2(x-3)(y-3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = 1 - \frac{\pi}{4}$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^n 2xf(x) dx = \ln 2$.