Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = -3xy+9x+9y-24$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x \ast x) \ast x = 12$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2+3x+3)f(x)dx=6$.

b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)f'(x)dx=0$.