Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & x \\ y & 0 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(2A) = -28$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle A+2B=I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Dacă $\displaystyle AB=BA$, arătați că $\displaystyle \det B=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+1)(y+1)-1$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere întregi, știind că $\displaystyle a \circ b = 8$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=xe^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2+1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)- \frac{1}{x}) dx = 3$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2016$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este mai mic decât $\displaystyle 14\pi$.