1Subiectul I5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicecuațiinumere naturale Determinați numerele naturale a\displaystyle aa, b\displaystyle bb și c\displaystyle cc, știind că 2016=2a⋅3b⋅7c\displaystyle 2016 = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c2016=2a⋅3b⋅7c. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul I5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicecuațiifuncții Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R, f(x)=4x2−3\displaystyle f(x)=4x^2-3f(x)=4x2−3. Determinați abscisele punctelor care au ordonata egală cu 1\displaystyle 11 și aparțin graficului funcției f\displaystyle ff. ▶Arată rezolvarea
3Subiectul I5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicecuații Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+10=2x−4\displaystyle \sqrt{3x+10}=2x-43x+10=2x−4. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul I5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicprobabilități Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor mai mică sau egală cu 10\displaystyle 1010. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul I5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicgeometrie analitică În reperul cartezian xOy\displaystyle xOyxOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2)A(−1,2) și B(3,5)\displaystyle B(3,5)B(3,5). Determinați coordonatele simetricului punctului A\displaystyle AA față de punctul B\displaystyle BB. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul I5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicgeometrie sinteticătrigonometrie Perimetrul triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABCABC este egal cu 72\displaystyle 7272. Determinați lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BCBC, știind că sinC=0,8\displaystyle \sin C = 0,8sinC=0,8. ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al II-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogiclegi de compoziție Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x \circ y = xy+x+yx∘y=xy+x+y. Calculați (2)∘(−2)\displaystyle (\sqrt{2}) \circ (-\sqrt{2})(2)∘(−2). ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al II-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogiclegi de compoziție Arătați că x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1x∘y=(x+1)(y+1)−1, pentru orice numere reale x\displaystyle xx și y\displaystyle yy. ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al II-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2∘x=−1\displaystyle x^2 \circ x = -1x2∘x=−1. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al II-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogiclegi de compoziție Verificați dacă legea de compoziție „∘\displaystyle \circ∘” este asociativă. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al II-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogiclegi de compozițienumere naturale Demonstrați că numărul n∘n\displaystyle n \circ nn∘n este multiplu de 8\displaystyle 88, pentru orice număr natural par n\displaystyle nn. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al II-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogiclegi de compozițienumere reale Dați un exemplu de două numere iraționale a\displaystyle aa și b\displaystyle bb, pentru care a∘b∈N\displaystyle a \circ b \in \mathbb{N}a∘b∈N. ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al III-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicdeterminanțimatrici Se consideră matricea A(x)=(xx−112)\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}A(x)=(x1x−12), unde x\displaystyle xx este număr real. Calculați det(A(2))\displaystyle \det(A(2))det(A(2)). ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al III-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicmatrici Arătați că A(1)+A(3)=2A(2)\displaystyle A(1) + A(3) = 2A(2)A(1)+A(3)=2A(2). ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al III-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicdeterminanțiecuațiimatrici Determinați numărul natural n\displaystyle nn, pentru care det(A(n))=1−2n\displaystyle \det(A(n)) = 1-2ndet(A(n))=1−2n. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al III-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicdeterminanțiinecuațiimatrici Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle xx, pentru care det(xA(x)−2I2)≥0\displaystyle \det(xA(x) - 2I_2) \ge 0det(xA(x)−2I2)≥0, unde I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}I2=(1001). ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al III-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicdeterminanțimatrici Demonstrați că matricea A(x2)\displaystyle A(x^2)A(x2) este inversabilă, pentru orice număr real x\displaystyle xx. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al III-lea5p·2016 · Simulare clasa XII · Pedagogicmatrici Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})X∈M2(R), pentru care 2X+3A(1)=4A(2)\displaystyle 2X + 3A(1) = 4A(2)2X+3A(1)=4A(2). ▶Arată rezolvarea