1. Arătați că $\displaystyle (1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4}) > 0,24$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 6x + 3$. Arătați că $\displaystyle f(6-x) = f(x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+4x-5}=x-1$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea $\displaystyle [\sqrt{n} \mid n \in \mathbb{N}, n < 50]$, acesta să fie număr rațional.

5. In reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,3)$, $\displaystyle B(-4,4)$ și $\displaystyle C(3,-3)$. Verificați dacă punctele $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

6. Se consideră rombul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB = 5$ și $\displaystyle BD = 6$. Calculați $\displaystyle \sin(\angle ADB)$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y + 3$.
2. Calculați $\displaystyle 2 * (-4)$.

2. Arătați că legea de compoziție „*” este asociativă.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = -3$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 9^x + 3^x = 93$.

5. Demonstrați că numărul $\displaystyle (2n^2 - 2n - 1)^2 + (2n^2 - 2n - 1)$ este pătrat perfect, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

6. Se consideră numărul real $\displaystyle a = 1 * (\sqrt{3}) * 5 * (\sqrt{7}) * 9 * (\sqrt{11}) * 13 * (\sqrt{15}) * 17 * (\sqrt{19})$. Arătați că $\displaystyle a \in (\sqrt{288}, \sqrt{290})$.

Se consideră mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}[\sqrt{5}] = \{a+b\sqrt{5} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$.

1. Verificați dacă $\displaystyle 1 \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x+y \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.

3. Demonstrați că $\displaystyle xy \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.

4. Verificați dacă $\displaystyle \frac{1}{9+4\sqrt{5}} = 9-4\sqrt{5}$.

5. Arătați că $\displaystyle \frac{1}{9-4\sqrt{5}} \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.

6. Dați exemplu de un număr $\displaystyle x \in \mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, astfel încât $\displaystyle 0 < x < \frac{1}{17}$.