Arătați că $\displaystyle \sqrt{48} - \sqrt{27} = \sqrt{3}$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x-1$ și $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = 2-x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2-3x} = 9$.

Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele $\displaystyle 5, 6, 7, 8$ și $\displaystyle 9$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(5,4)$ și $\displaystyle C(5,8)$. Arătați că $\displaystyle AB = BC$.

Arătați că $\displaystyle \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \cos 60^\circ = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - x - y + 1$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2016 = 0$.

2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

3. Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x-1) \circ x = 0$.

5. Arătați că $\displaystyle x^2 \circ x^2 = (x^2-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

6. Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle a \circ b = 3$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = aA + aI_2$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

2. Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(M(a)) = 16$.

3. Arătați că $\displaystyle M(-1) + M(0) + M(1) = 3A$.

4. Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = (a+b)A + abI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

5. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$, pentru care matricea $\displaystyle M(a)$ este inversabilă.

6. Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle M(1) \cdot X = A$.