Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle X \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy-4x-4y+20$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 * 2 * 3 * \dots * 2016$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, știind că $\displaystyle a<b<c$ și $\displaystyle a*b*c = 66$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x+1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa absciselor.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(1) + f(2) + \dots + f(n)\right)^n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1-f(x)}{x} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = 1 - \frac{2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^e \frac{f(x)}{x^n} dx = 0$.