Se consideră determinantul $\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix} x & 3 & y \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \Delta(-1,0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(x-3y+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi distincte $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle \frac{1}{y-x}=\frac{1}{8}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Calculați $\displaystyle A(1)-A(0)$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A(n) \cdot A(m)=A(n+m)$, atunci $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix} 1 & 2n & n(n+1) \ 0 & 1 & 2n \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle n \in \mathbb{N}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x}$ și sirul de numere reale $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle x_n=f(n)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-8x+7}{x-1}, & x<1 \ \sqrt{x^2+4x-4+a}, & x \ge 1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{\ln(f(x)-2)}{x-1}$.