Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & -1 \\ 1 & -m & 1 \\ -1 & 1 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} -mx + y + z = -1 \\ x - my + z = -1 \\ -x + y + mz = m \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \neq -1$ și $\displaystyle m \neq 2$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului pentru care $\displaystyle x_0 + y_0 + z_0 = 9$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = -2xy + 10x + 10y - 45$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = -2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 5$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle m * n = 27$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-8\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(4,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{5}^{10} (x-4)f(x)\,dx = \ln 5$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[5,6]\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n^2 \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx = 1$.