a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \ne -1$ și $\displaystyle a \ne 1$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$, pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, iar $\displaystyle x_0, y_0$ și $\displaystyle z_0$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+3$. Demonstrați că $\displaystyle (f(x) \circ f(y)) = f(x \circ y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a \circ a \circ a = 3^{2015}-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f'(2)+f'(3)+f'(4)+...+f'(n)) = - \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx = \frac{3}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} \ln x dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,a] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \pi \left(\ln a + \frac{7}{2}\right)$.