Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+a^2z=0 \\ x-y+z=2 \\ x-ay+z=4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \ne -1$ și $\displaystyle a \ne \frac{1}{3}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, iar $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = -xy+2x+2y-2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Determinați $\displaystyle n, p \in \mathbb{N}$ astfel încât $\displaystyle n \ast n \ast n \ast n = 2$, produsul numerelor $\displaystyle n, m$ și $\displaystyle p$ este divizibil cu $\displaystyle 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică în intervalul $\displaystyle (0,1)$.

Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x+3}dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_0 = 1+3\ln \frac{3}{4}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+3I_n=\frac{1}{n+2}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} nI_n = \frac{1}{4}$.