Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2+x \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a\ne -1$, ştiind că $\displaystyle A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right) \cdot A\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right) \cdot \dots \cdot A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right) = A\left(\frac{a}{a+1}\right)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+mX^2+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, descompuneţi polinomul $\displaystyle f$ în factori ireductibili în $\displaystyle \mathbb{R}[X]$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real $\displaystyle a\in(-1,1)$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are soluţie unică.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2(f(x)+e^x)dx=2$.

b) Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n (f(x)+e^x)dx = 0$.