Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, ştiind că $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(x^2+2)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n)=A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) \cdot \dots \cdot A(2016)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 2017$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-5X+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2016-4a$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2\sqrt{3}) < f(3\sqrt{2})$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{2}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.