Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A \cdot A = xA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A + aI_2) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy + 2x + 2y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x+2)(y+2) - 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle (-2015) \ast (-2) \ast 0 \ast 2 \ast 2015$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că numărul $\displaystyle n \ast (-n)$ este natural.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-2,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (-2,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x-1$ și $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 - x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+1)dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{n} (F(x)-x^2)dx = \frac{n^3}{3}$.