Se consideră determinantul $\displaystyle D(m)=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ m & 1 & -1 \\ 2 & 3 & m \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle D(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(m)=(m+2)(m+3)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle D(n^2-3n)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ a & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(-1)+A(1)=2A(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A(1) \cdot X=4A(2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+4}{x-2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x-2)f(x))$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x^2+x-1, & x \le 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)+f(2)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x) \le 0$.