Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot A+I_2=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A-aI_2)\geq 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+5X^2+X+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-5)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+6X+5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}=\frac{23}{5}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0\le f(x)\le 1$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{f(x)}dx = \frac{26}{3}$, unde $\displaystyle f(x)=x^3$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\sqrt{x}$.

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(f(x)-\sqrt{x})\cdot e^x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e(2e-1)$.