Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle M \cdot M + 3M + 4I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle M \cdot M \cdot M = aM + bI_2$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - 5X^2 + 5X - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle f(a) + f(-a) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 15x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 6x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2012) + f(2014) \le f(2013) + f(2015)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 4$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) + 4)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)+5}$, pentru care $\displaystyle F(0) = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{1}{x} dx = 12$.