Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot A=xA.$

c) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-2X^2-2X+1.$

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=-2.$

b) Determinați polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+1.$

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$, unde $\displaystyle x_1,x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f.$

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty).$

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty).$

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)dx = \frac{1}{3}.$

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(3)=5.$

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=e^x \cdot f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 3e-4.$