Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2,0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x,a) + A(x,-a) = 2x A(1,0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x,-3)) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x ∘ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x ∘ y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle a ∘ b = 2$.

c) Calculați $\displaystyle (-1) ∘ 0 ∘ 1 ∘ ... ∘ 2015$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x) = xe^x - e^x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x ℙ \in \u211D$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x^2 - 2x - 1)dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(-1)=1$.

c) Arătați că pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$ are loc relația $\displaystyle \int_0^a f(x)dx + \int_{-a}^0 f(x)dx = a^4 - 1$.