Se consideră determinantul $\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & 4 \\ 2 & x-1 & 7-x \\ 1 & -2 & x^2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle D(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x) = -(x-1)(x+1)(x+2)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(2^x - 3) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} 1+3a & -6a \\ a & 1-2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle X(a) + X(-a) = 2X(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle X(a) \cdot X(b) = X(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle X(a)$ este inversabilă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^3+1, & x \le -1 \\ 2x^2+(a-3)x-4, & x > -1 \end{cases}$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=-1$.

b) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \le -1$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [0,2]$.