Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(B(x)+I_2)=8$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=B(x) \cdot A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy-7x-7y+56$.

a) Arătați că $\displaystyle (-7)*7 = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-7)(y-7)+7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3*...*2015$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(x^2)dx=\ln 2-\frac{1}{2}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)$.