Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2 & x \\ x & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(1)+A(3)=aA(2)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=3xy+6x+6y+10$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*(-2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=3(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x*x=x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [-3,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^2+1)f(x)dx=0$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{2}\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=m$, are aria egală cu $\displaystyle \ln 2$.