a) Arătați că $\displaystyle A(2014) + A(2016) = 2A(2015)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(2) + xA(3)) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) * 1 = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y = -(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (x+2) * (2x-3) = 5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^4}{x^2+1}$.

c) Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = \frac{7}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x+2\ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (f(x)-1)\ln x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.