Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(0)=2A(0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 21$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \circ 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \dots \circ \sqrt{2015}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^3+x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 e^x \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle 4+\ln a$.