Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ -a & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3-mX+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+X-2$ este egal cu $\displaystyle 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-6$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x-5)dx = \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{2x-2}{f(x)}dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^{2015} \frac{1}{f(x)}dx \le \frac{1}{4}$.