a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(3))$.

b) Arătaţi că $\displaystyle A(-2015) + A(2015) = 2A(0)$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = x^2$.

a) Calculaţi $\displaystyle f(\hat{0})$.

b) Determinaţi $\displaystyle \hat{a} \in \mathbb{Z}_5$, ştiind că $\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}$.

c) Arătaţi că, dacă $\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{2})$, atunci $\displaystyle f(\hat{3})=f(\hat{4})$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei $\displaystyle f$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x+1}\right) dx$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{4}{3} - \ln 2$.

c) Determinaţi numărul natural neul $\displaystyle n$, ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} + \ln (n^2+n)$.