Arătați că $\displaystyle 2+\frac{1}{2}:\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{33}{16}$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+a$ are $\displaystyle f(2)+f(-2)=4$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x^2+2x=3$.

Prețul unui obiect este 200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(-3,4)$ și $\displaystyle B(3,4)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle M$, știind că $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle B)=45^\circ$ și $\displaystyle AB=AC=\sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-2015$. Arătați că $\displaystyle 1007 * 1008 = 0$.

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Verificați dacă $\displaystyle e=2015$ este element neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle x*x=2015$.

Arătați că $\displaystyle x*(x+2015)=(x+1007)*(x+1008)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^x * 5^x = -1985$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} a & b \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle B-A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Pentru $\displaystyle a=0$, determinați numărul real $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle \det B = 9$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle AB=BA$.

Arătați că inversa matricei $\displaystyle A$ este matricea $\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} \\ -1 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$.

Pentru $\displaystyle a=b=1$, rezolvați în $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle B \cdot X = A$.