Arătați că $\displaystyle \sqrt{32} - \sqrt{18} - \sqrt{2} = 0$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+1$ și $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=4-2x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{x^2-3x} = 25$.

Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele $\displaystyle 1, 2, 3, 4$ și $\displaystyle 5$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$, $\displaystyle B(5,3)$ și $\displaystyle C(5,6)$. Arătați că $\displaystyle AB = BC$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ + \sin 45^\circ \cos 45^\circ = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$. Arătați că $\displaystyle 2015 \circ (-1) = -1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$. Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este asociativă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$. Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este element neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$. Arătați că $\displaystyle x \circ x = (x+1)^2-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x \circ x = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$. Arătați că $\displaystyle x \circ (x+1) \ge x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle \det(A(a)-I_2) < 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle (2a+1)A(a) - A(a)A(a) = (a^2+a-2)I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați inversa matricei $\displaystyle A(2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)) \le 0$.