Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 0 & x & -1 \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(-1)=2A(0)$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \det(A(x)+I_3)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)-A(-a)+I_3-A(-1))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „*”.

c) Calculați $\displaystyle d_1*d_2*...*d_n$, unde $\displaystyle d_1, d_2, ..., d_n$ sunt divizorii naturali ai lui 2015.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^4+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \int_0^1 f(t)dt$.