Se consideră determinantul $\displaystyle D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & y & \frac{1}{y} \\ 1 & x & \frac{1}{x} \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale nenule.

a) Arătați că $\displaystyle D\left(2, \frac{1}{2}\right) = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y) = -\frac{1}{xy}(2x-1)(2y-1)(x-y)$, pentru orice numere reale nenule $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle D(\log_2 x, 2) = 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 2 & 1 \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle 2A(1)-A(-1)=A(3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) + bI_3 = 2(A(1)-I_3)(A(1)-I_3)$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x}$ și șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = f(1) + f(2) + \dots + f(n)$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x+a+1, & x \le 1 \\ x^2+a^2x, & x > 1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x)+x})$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.