Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a+1 \\ 0 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle A^2(a)-2A(a)+I_3=O_3$, unde $\displaystyle A^2(a)=A(a)A(a)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(4)+A(6)+...+A(100)=50A(51)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-4X^2+mX+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1=x_2=x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ şi $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Pentru $\displaystyle m=8$, arătați că polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x(x-3)^2 \le 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 3]$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n(1-x)^n dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{1}{12}$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1}=\frac{n+1}{2(2n+1)} I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.