Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1-x & 0 & 2x \ 0 & 1 & 0 \ -x & 0 & 1+2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x)A(x)=A(7)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2+X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=m$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=5x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural prim $\displaystyle m$, știind că polinomul $\displaystyle f$ are o rădăcină întreagă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că derivata funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) dx = 1$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_1^e \frac{(f(x))^n}{x} dx = \frac{1}{2015}$.