Se consideră matricea $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & x \ 0 & 1 & 0 \ 3x & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x^2+1)B(x^2+1)=B(x^2+1)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{2}(x-3)(y-3)+3$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3)\circ 3 = 3$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \circ 11 = n$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 2015$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)-3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x}dx=e(e-1)$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n \ge 2$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^x dx$. Arătați că $\displaystyle I_n+(n+1)I_{n-1}=e$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.