Se consideră matricea $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \operatorname{det} A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care matricele $\displaystyle A+m I_{3}$ și $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 8\end{array}\right)$ sunt egale, unde $\displaystyle I_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = B$, unde $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ și $\displaystyle B=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă $\displaystyle x * y=x y+x+y-5$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-2) = -5$.

b) Verificați dacă legea „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Calculați $\displaystyle (-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3 * 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-3 x+7$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x(2 x+1)(3 x+2)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq 5$ pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+2x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{x}+x^{2}+2014$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-2x) d x$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) f(x) d x$.